)Man sieht, dass die letztere Zuordnung die Rechnung einfacher macht, denn die Stammfunktion der Sinusfunktion Man kann sich auch zunutze machen, dass nach einigen Wiederholungen das usprüngliche Integral wieder auftritt.Steht in einem Integral kein Produkt, aber eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, kann man einen Trick anwenden:Das schafft die Voraussetzungen um partielle Integration anwenden zu können.Bei der partiellen Integration macht man sich die Produktregel der Ableitung zunutze: Wir sind eine engagierte Gemeinschaft, die daran arbeitet, hochwertige Bildung weltweit frei verfügbar zu machen.Bitte aktiviere JavaScript um diese Website zu nutzen.
Partielle Integration Beispiel: Zeit für ein paar Beispiele um die partielle Integration der Integralrechnung zu zeigen. Partielle Integration Zunächst verpacken wir unsere Beispielfunktion in eine allgemeinere Form: ∫ ⋅ b a u(x) v'(x)dx Bemerkenswert daran ist: wir nehmen an, dass der u(x)-Term ein normaler Term ist, aber das v(x) bereits abgeleitet wurde. \int\left(u(x)\cdot v(x)\right)'dx & =\int\left(u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\right)dx\\\ Partielle Integration: Herleitung der Formel. This video is unavailable. Tauscht in diesem Fall u und v' einmal gegeneinander aus und versucht es erneut.
Mittels eines Beispiels lässt sich der Trick am besten nachvollziehen:
Alle Stammfunktionen haben somit die Form &=x\cdot \ln(x)-\int 1dx\\ %%\int u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%\left[\frac12x^2\cos\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\frac12x^2\left(-\sin\left(x\right)\right)\mathrm{d}x\\%%%%\left[x\cdot\sin\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\sin\left(x\right)\cdot1\;\mathrm{d}x\\%%%%\int\sin\left(x\right)\mathrm{dx}=-\cos\left(x\right).\\%%%%\int_0^{2\pi}x\;\cos\left(x\right)\mathrm{d}x=\left[x\cdot\sin\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%=\left(2\pi\cdot\sin\left(2\pi\right)-0\right)-\left[-\cos\left(x\right)\right]_0^{2\pi}%%%%=0+\left(\cos\left(2\pi\right)-\cos\left(0\right)\right)=0%%%%\int_0^{2\pi}e^x\; \cos\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%\left[e^x\cos\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}e^x\left(-\sin\left(x\right)\right)\mathrm{d}x%%%%=e^{2\pi}\cdot1-e^0\cdot1 +\int_0^{2\pi}e^x\sin\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%=\left(e^{2\pi}-1\right)+\int_0^{2\pi}e^x\sin\left(x\right)\mathrm{d}x\\%%%%\int_0^{2\pi}e^x\sin\left(x\right)\mathrm{d}x=\left[e^x\sin\left(x\right)\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%=-\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%\int_0^{2\pi}e^x\;\cos\left(x\right)\mathrm{d}x = \left(e^{2\pi}-1\right)- \int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%\Rightarrow 2\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x=\left(e^{2\pi} -1\right)%%%%\Rightarrow\int_0^{2\pi}e^x\cos\left(x\right)\mathrm{d}x=\frac{\left(e^{2\pi} -1\right)}{2}%%%%\;\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot f\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x%%%%\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x\;=\;x\ln\left(x\right)-\int x\cdot\frac1x\mathrm{d}x\;=\;\mathrm{xln}\left(x\right)-x%%%%\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)'=u'\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v'\left(x\right)\\%%%%u\left(x\right)v\left(x\right)=\int u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x+\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x\\%%%%\int u'\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x\;=\;u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u\left(x\right)v'\left(x\right)\mathrm{d}x%% Deswegen wählst du immer das Polynom als $u'(x)$ und den Logarithmus als $v(x)$.Wir setzen eigene Cookies und verschiedene Dienste von Drittanbietern ein, um unsere Lernplattform optimal für Sie zu gestalten, unsere Inhalte und Angebote ständig für Sie zu verbessern sowie unsere Werbemaßnahmen zu messen und auszusteuern.
Für die Messung und Kontrolle unseres Marketings und die Steuerung unserer Werbemaßnahmen setzen wir eigene Cookies und verschiedene Dienste Dritter ein, unter anderem Google Adwords/Doubleclick, Bing, Youtube, Facebook, Pinterest, LinkedIn, Taboola und Outbrain. Diese lautet: Setzen wir jeweils Hier integrieren wir erneut zweimal partiell, und lösen die daraus entstehende Gleichung nach dem ursprünglichen Integral auf.